Die Gamma-Funktion

Fakultät

Die Fakultät wird berechnet als:

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1$

Alternativ kann man $5!$ schreiben als:

$ 5! = 5 \times 4!$
$n! = n \times (n-1)! == (n-1) = n!/n$

Mit dieser Formel lässt sich elegant herleiten, dass $0! = 1$ sein muss.

$0! = 1!/1 = 1$

Setzen wir nun $-1$ ein:

$(-1)! = 0! / 0$

Müsste man durch $0$ dividieren, ergo ist die Fakultät für $-1$ nicht definiert.

Eigenschaften der Fakultät

1. $ f(1) = 1 $

2. $ f(x+1) = x f(x) \quad x > 0 $

3. $f$ wächst schnell.

$f$ wächst schnell?

$ e^x $ wächst auch schnell:

$f$ wächst schnell?

Aber $ln(e^x)$ ist linear:

$f$ wächst schnell?

$x!$ wächst auch schnell:

$f$ wächst schnell?

Aber sogar $ln(x!)$ hat eine kleine Kurve:

$f$ wächst schnell?

Für eine zweifach ableitbare Funktion $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $, e.g.

$ g(x) = e^{x^2} $

können wir das etwas rigoroser ausdrücken:

$\rightarrow$ wir nennen das: "Logarithmisch Konvex"

Welche Funktion erfüllt diese Kriterien für $\mathbb{R}$?

Eine beliebige Funktion $ f : [0, 1) \rightarrow \mathbb{R} $ kann durch die rekursive Eigenschaft $ f(x+1) = x f(x) $ auf ganz $\mathbb{R}$ erweitert werden. Wenn wir zusätzlich $ f(1) = 1 $ definieren, schneidet die resultierende Funktion die Fakultät, e.g.

$ f(x) : \begin{cases} [0, 1) \rightarrow \mathbb{R} \\ x \mapsto sin(2 \pi x) + 1 \end{cases} $

$\rightarrow$ Wir haben schon 2 von 3 Kriterien erfüllt!

Wir müssen also nur noch eine solche Funktion finden, die erweitert logarithmisch konvex ist. Dazu ist die logarithmische Ansicht der Faktorial-Funktion nochmals nützlich:

Antwort: Die Gamma-Funktion

$ \Gamma(z) = \int_{-\infty}^{\infty} t^{z-1} e^{-t} dt $

Eine kleine Geschichte der Gamma-Funktion

x. Schritt

Gamma-Funktion von -0.5

History of the Gamma function